Груповою алгеброю групи G над кільцем R є асоціативна алгебра, елементи якої є формальними лінійними комбінаціями над R елементів G і чиє множення задано на цих базисних елементах груповою операцією в G .21 серпня 2024 р

Багато груп геометричних перетворень є алгебраїчними групами; наприклад, ортогональні групи, загальні лінійні групи, проективні групи, евклідові групиі т. д. Багато груп матриць також є алгебраїчними. Інші алгебраїчні групи природно зустрічаються в алгебраїчній геометрії, такі як еліптичні криві та якобіани.

Перші теореми

• Особи унікальні. Ідентичність групи унікальна. …
• Ідентичності унікальні – перефразовані. Якщо G=[G;∗] є групою, а e є тотожністю G, тоді жоден інший елемент G не є тотожністю G. …
• Інверси унікальні.

Розмірність є інваріантом відносно будь-якого ізоморфізму алгебраїчних груп. Однак можливо мати ту саму абстрактну групу, що виникає як алгебраїчні групи різних вимірів над даним полем. Розмірність алгебраїчної групи дорівнює розмірності її зв'язної компоненти тотожності.

Аксіоми теорії груп і доказ Аксіома 1: якщо G є групою, елементи якої мають a і b, так що a, b ∈ G, то (a × b)-1 = a-1 × b-1. Доведення: Щоб довести: (a × b) × b-1 × a-1= I, де I є елементом тотожності G. Розглянемо L.H.S наведеного вище рівняння, ми маємо L.H.S = (a × b) × b -1 × b-1.

Приклад 4.2 (Z,+) це група. Тотожність дорівнює 0, обернена a∈Z a ∈ Z дорівнює −a, а додавання є асоціативним. Так само дійсні числа або комплексні числа з двійковою операцією + утворюють групи. Але натуральні числа N з операцією + не є групою (чому?)