f(r + Tds) – f(r) = ds(T f). Це означає, що інтеграл від компонента градієнта f уздовж шляху дасть зміну f або різницю між його значеннями на передньому та задньому кінцях P. І це форма, яку набуває фундаментальна теорема обчислення для лінії або інтеграли траєкторій у кількох вимірах.

Перша частина теореми, перша фундаментальна теорема обчислення, стверджує, що для неперервної функції f , першопохідна або невизначений інтеграл F можна отримати як інтеграл від f по інтервалу зі змінною верхньою межею.

Теорема Стокса зв'язує лінійний інтеграл по замкнутій кривій з поверхневим інтегралом. Якщо шлях C є межею деякої поверхні S, тобто C=∂S, то теорема Стокса говорить, що ∫CF⋅ds=∬ScurlF⋅dS. Інтегральну функцію поверхневого інтеграла можна розглядати як «мікроскопічну циркуляцію» Ф.

Фундаментальна теорема обчислення для інтеграла Рімана: Частина I. Нехай f,F : [a, b] → R — дві функції, які задовольняють таке: a) f інтегровна за Ріманом на [a, b]; б) F неперервна на [a, b] і в) F0(x) = f(x) для всіх x ∈ [a, b]. f = F(b) − F(a) . f .

1: Основна теорема про комплексні лінійні інтеграли. ∫γf′(z) dz=f(z1)−f(z0).

Теорема про градієнт, також відома як фундаментальна теорема обчислення для лінійних інтегралів, говорить, що лінійний інтеграл через градієнтне поле можна обчислити шляхом оцінки початкового скалярного поля в кінцевих точках кривої.