Коли розв’язується хвильове рівняння Шредінгера в полярних координатах, розв’язок для Φ має вигляд Ψ(r,θ,ϕ)=R(r),Y(θ,ϕ). Тут R(r) – радіальна частина хвильової функції, а Y(θ,ϕ) – кутова частина хвильової функції. Область або простір, де ймовірність знаходження електрона дорівнює нулю, називається
.
Хвильова функція Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) представляє дійсний розв’язок рівняння Шредінгера. Хвильову функцію називають функцією вільної хвилі, оскільки вона представляє частинку, яка відчуває нульову сумарну силу (константа V).
Звичайно, природно використовувати полярні координати, тому ми перепишемо хвильове рівняння так: utt = c2 1 r (rur)r + 1 r2 uθθ і розв’язати u як функцію r, θ і t. Ми припустимо, що однорідні граничні умови u(a, θ, t)=0 і, звичайно, u є періодичним з періодом 2π в θ.
Фізично значущі розв’язки мають бути двічі неперервно диференційованими в 0≤ r ≤ a. Отже, рівняння (1.5) має лише один обмежений розв’язок, R(r)= JV(√(𝜆2 + µ2𝑟) ). Нарешті, загальний розв’язок рівняння ( 1.1) задано T(r,𝜃,z,t) = 𝑒−𝛼𝜆2𝑡[A𝑒µ𝑧+𝐵𝑒−µ𝑧 ] [ Ccos 𝑣𝜃 + 𝐷 sin 𝑣𝜃 ] JV(√(𝜆2 + µ2𝑟) ).
Розв’язавши рівняння Шредінгера для Нескінченна яма, скінченна яма та атом водню, ми можемо створити моделі, які дозволяють добре зрозуміти поведінку частинки, коли вона обмежена невеликою областю простору, довжина якої пропорційна планківській довжині хвилі частинки.
Розглянемо залежне від часу рівняння Шредінгера (або якесь рівняння у формі Шредінгера), записане як iℏ∂tΨ = ˆHΨ. Зазвичай люблять писати, що воно має формальне вирішення форми Ψ(t) = exp[−iℏt∫0ˆH(t′) dt′]Ψ(0).