У реалістичних дослідженнях динаміки фізичної системи нелінійність часто може мати форму добре відомого рівняння Ріккаті: р′ = f(x) + g(x)y + h(x)y2. Рівняння Ріккаті використовується в різних областях фізики, техніки та математики, таких як квантова механіка, термодинаміка та теорія керування.
Загальне рівняння Ріккаті. f(x)Φ(x) dx ¸−1 , де Φ(x) = exp ½∫ £ 2f(x)y0(x) + g(x) ¤ dx ¾ , C — довільна константа.
Звичайне диференціальне рівняння Ріккаті має вигляд dy(x) dx + a(x)y(x)2 + b(x)y(x) + c(x)=0. У наступному розділі ми наведемо деякі визначення та згадаємо деякі відомі результати з диференціальної алгебри.
Рівняння Бернуллі стверджує, що сума в кожній частині наступного рівняння постійна або однакова в будь-яких двох точках нестисливої рідини без тертя: P1+12ρv21+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2.
Дане рівняння Ріккаті можна розв’язати підстановкою y=x2+1/v(x), де y1 = x² — окремий розв’язок даного рівняння Ріккаті. y′=x2+y2+xy. Фазовий портрет для y' = x² + y² −xy. Фазовий портрет для y' = x² + y² + xy.
У загальному вигляді їх можна представити як P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, де P(x,y) і Q(x,y) — однорідні функції однакового степеня. Приклади однорідного диференціального рівняння: y + x(dy/dx) = 0 — однорідне диференціальне рівняння 1-го ступеня. x4 + y4(dy/dx) = 0 — однорідне диференціальне рівняння 4-го ступеня.