Ми показали, що G-метричний простір є метричний простір і що метрика може бути отримана з G-метрики таким чином, щоб збіжність і повнота в G-метриці були еквівалентними таким у похідних метриках.

Як описано в розділі A, евклідів простір Rd=R×⋯×R є множина всіх упорядкованих d-кортежів або векторів над дійсними числами R (коли d=1 ми називаємо вектори скалярами). Ми позначаємо вектор у Rd, коли d>1 жирним шрифтом, і посилаємося на його скалярні компоненти через індекси.

Метричний простір складається з непорожньої множини та метрики на множині. Термін «метричний простір» часто позначають (X, p). Нерівність трикутника для метрики визначається властивістю (iv). Множина R усіх дійсних чисел з p(x, y) = | x – y | є класичним прикладом метричного простору.

У математиці метричний простір – це множина разом із поняттям відстані між її елементами, які зазвичай називають точками. Відстань вимірюється функцією, яка називається метрикою або функцією відстані. Метричні простори є найбільш загальним середовищем для вивчення багатьох понять математичного аналізу та геометрії.

Визначення 4.28 Дано метричний простір E, нехай { p n } — послідовність точок у E . Послідовність { p n } називається послідовністю Коші якщо для будь-якого заданого дійсного числа ε > 0 існує таке натуральне число N, що n, m > N означає d (p n, p m) < ε .

Евклідов простір, в геометрії, дво- або тривимірний простір, в якому застосовуються аксіоми та постулати евклідової геометрії; також простір у будь-якій кінцевій кількості вимірів, у якому точки позначаються координатами (по одній для кожного виміру), а відстань між двома точками визначається формулою відстані.