Простір Соболєва — це векторний простір функцій, забезпечений нормою, тобто комбінація L p норм самої функції, а також її похідних до заданого порядку. Похідні розуміються у відповідному слабкому сенсі, щоб зробити простір повним, таким чином a
.
Інтуїтивно зрозуміло, що простір Соболєва — це простір функцій, що має достатньо багато похідних для певної області застосування, такої як диференціальні рівняння в частинних похідних, і має норму, яка вимірює як розмір, так і регулярність функції. Простори Соболєва названі на честь російського математика Сергія Соболєва.
Зокрема, евклідова відстань у евклідовому просторі визначається нормою пов’язаного евклідового векторного простору, яка називається евклідовою нормою, 2-нормою або, іноді, величиною вектора. Цю норму можна визначити як квадратний корінь із внутрішнього добутку вектора на самого себе.
Зрештою, ось чому Sobolev Spaces такі корисні: вони дозволяють використовувати функціональний аналіз. Нам не потрібно будувати абсолютно нову галузь аналізу, щоб розв’язати ці лінійні диференціальні рівняння в частинних похідних. Скоріше ми звертаємось до того, який добре розроблений і використовує потужні інструменти, які він може запропонувати.
Є багато прикладів розривної функції Соболєва в W1,n(Rn). Наприклад f(x)=log|log|x|| визначається в околиці нуля. Тепер візьміть n=2 і обмежте функцію віссю x. Ви отримаєте розривну функцію в просторі слідів, яка є H1/2(R).
Простір Соболєва — це векторний простір функцій, забезпечений нормою, тобто комбінація Lp норм самої функції, а також її похідних до заданого порядку. Похідні розуміються у відповідному слабкому сенсі, щоб зробити простір повним, таким чином банаховим простором.