У математиці увігнутість — це процес перетворення неувігнутої функції на увігнуту. Спорідненим поняттям є
іфікація – перетворення не-
до опуклої функції. Це особливо важливо в економіці та математичній оптимізації.
Функція опукла якщо вона лежить вище своєї дотичної в кожній точці. Більш формально, функція f(x) є опуклою, якщо для будь-яких x1, x2 у її області визначення та будь-якого t між 0 і 1 ми маємо f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t )f(x2).
Кажемо функцію f(x) опуклою на проміжку I, коли множина {(x, y) : x ∈ I,y ≥ f(x)} опукла. З іншого боку, якщо множина {(x, y) : x ∈ I,y ≤ f(x)} опукла, то ми говоримо, що f увігнута. Зауважте, що f може не бути ні опуклим, ні увігнутим.
Опукла оптимізація є підгалузь математичної оптимізації, що вивчає проблему мінімізації опуклих функцій над опуклими множинами (або, що еквівалентно, максимізація увігнутих функцій над опуклими множинами).
Геометрично функція є опуклою якщо відрізок, проведений з будь-якої точки (x, f(x)) в іншу точку (y, f(y)) – називається хордою від x до y – лежить на графіку f або над ним, як на малюнку нижче: алгебраїчно f є опуклою, якщо для будь-яких x і y та будь-якого t від 0 до 1 f( tx + (1-t)y ) <= t f(x) + (1-t) f(y).
Значення convexity англійською якість вигинання або об’єкт чи поверхня, які вигинаються: будь-яка зміна опуклості лінзи змінить її фокусну відстань.