Насправді парадокс Банаха–Тарського демонструє, що неможливо знайти скінченно-адитивну міру (або банахову міру), визначену на всіх підмножинах евклідового простору трьох (і більше) вимірів, яка є інваріантною відносно евклідових рухів і приймає значення одиниці на одиничному кубі.

Мабуть, найвідоміший із парадоксів нескінченності, Готель Гільберта це уявний експеримент, коли готель має нескінченну кількість номерів, усі з яких зайняті. Тим не менш, він все ще може прийняти додаткових гостей, просто переміщаючи їх у розумний спосіб.

Це математична теорема про нескінченність, яка дозволяє, принаймні в принципі, перетворити одне яблуко на два. Цей аргумент називають парадоксом Банаха-Тарського, на честь математиків Стефан Банах і Альфред Тарскі, який винайшов його в 1924 році.

Парадокс говорить: «Маючи суцільну кулю в 3-вимірному евклідовому просторі, ми можемо розділити її на скінченну кількість частин, щоб ми могли переставити їх, щоб отримати дві суцільні кулі, конгруентні першій кулі.” [«Парадокс Банаха-Тарського».] Існує узагальнення цього парадоксу, яке стверджує, що якщо A і B є будь-якими …

Банах-Тарський стверджує, що м'яч можна розібрати і знову зібрати, щоб отримати дві копії одного м'яча. Це вважається парадоксом, оскільки це суперечить геометричній інтуїції, що можна подвоїти об’єм об’єкта, лише розрізавши його на частини та жорстко переставивши ці частини.