Якщо f задовольняє умову Гёльдера, то його ряд Фур’є
. Якщо f має обмежену варіацію, то її ряд Фур'є всюди сходиться. Якщо f неперервна і її коефіцієнти Фур'є абсолютно підсумовуються, то ряд Фур'є сходиться рівномірно.
Якщо r > 1, то ряд розбігається. Якщо r = 1, перевірка співвідношення є непереконливою, і ряди можуть сходитися або розходитися. де «lim sup» позначає верхню межу (можливо, ∞; якщо межа існує, це те саме значення). Якщо r < 1, то ряд збігається.
Щоб існував ряд Фур’є, мають бути виконані такі дві умови (разом зі слабкою умовою Діріхле): В одному періоді f(t) має лише кінцеве число мінімумів і максимумів. В одному періоді f(t) має лише скінченну кількість розривів, і кожен з них є скінченним.
Якщо f є 2π-періодичним і має інтегровну похідну, то його ряд Фур’є збігається абсолютно і рівномірно до f.
Теорема: (Збіжність рядів Фур'є) Нехай f кусково гладка на [−π, π] і періодична з періодом 2π. Тоді при кожному x ряд Фур’є збігається до 1 2 (f(x+) + f(x−)). f(ξ) – права та ліва межі f на x.
Умови Діріхле для збіжності рядів Фур’є стверджують, що: 1) Функція має бути однозначною, періодичною та кінцевою, 2) він повинен мати кінцеву кількість максимумів і мінімумів у будь-якому даному періоді, і 3) він повинен мати кінцеву кількість розривів, але розриви не повинні бути нескінченними.